Josep Maria Martí Duran va iniciar-se en l'aprenentatge dels instruments de corda polsada després de finalitzar els seus estudis de guitarra clàssica amb Jordi Codina. Així, estudià amb Xavier Díaz-Latorre a l'ESMUC, a Barcelona, amb Massimiliano Toni a Novara i amb Eduardo Egüez a la Zürcher Hochschule der Künste de Zurich.
Ja des dels inicis treballà amb els principals grups especialitzats en música antiga, amb qui segueix col·laborant regularment en l'actualitat. Algunes de les formacions més destacades són Le Concert des Nations i Hespèrion XXI (dir. Jordi Savall), L’Arpeggiata (dir. Christina Pluhar), l'Early Opera Company (dir. Christian Curnyn), Les Arts Florissants (dir. W. Christie), Il Giardino Armonico (dir. G. Antonini), Cafe Zimmermann (dir. Pablo Valetti), entre d’altres.
A banda de comptar amb una extensa discografia al costat de grups com els abans esmentats, destaquen també dos projectes discogràfics de caire més personal: Eternità d’Amore, un disc a duo amb el tenor americà Zachary Wilder entorn la música italiana del segle XVII, presentat el Juny de 2019 al Boston Early Music Festival amb un gran èxit de públic i crítica; i el llançament del seu primer treball com a solista on proposa una nova mirada a l'obra de G. F. Händel i H. Purcell, transformant algunes de les principals àries d'òpera d'ambdós compositors en música per a tiorba. Sota el títol d'Ad Álgea, aquest projecte ha rebut una gran acollida pel públic i la crítica, com ara la prestigiosa menció com a Excepcional a la revista especialitzada “Scherzo”, i l’ha portat a presentar-lo al prestigiós festival Händel-Festspiele del Halle a la temporada 2023.
En la seva intensa carrera concertística ha actuat a les sales més prestigioses d'arreu i ha gravat en diverses ocasions per emissores com France Musique, Radio France, RNE, BBC i Catalunya Ràdio, i els segells Warner Classics & Erato, SONY i Alpha.
Com a docent ha impartit classes magistrals al Melbourne Conservatorium of Music, a la XIª Acadèmia de la Capella Reial de Catalunya, dirigida per Jordi Savall, als Pôle des Arts Baroques, a Tolosa, i actualment a l’ESMUC.